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Pendule sphérique

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne

Pour des variations infinitésimales d θ et d ϕ , on a deux écarts perpendiculaires l d θ et l sin θ d ϕ . Les deux composantes perpendiculaires de la vitesse sont donc
l.
θ
 
et
l.
ϕ
 
sin θ
et l'énergie cinétique vaut
E c =  m l 2
–––––
2
({.
θ
 
} 2 + {.
ϕ
 
} 2 sin 2 θ)
. L'énergie potentielle valant E p = Cte - m g l cos θ , la fonction de Lagrange s'écrit :

L = E c - E p =  m l 2
–––––
2
({.
θ
 
} 2 + {.
ϕ
 
} 2 sin 2 θ) + m g l cos θ - Cte

Le lagrangien, a priori fonction de

( θ, ϕ,.
θ
 
,.
ϕ
 
, t)
ne dépend ici explicitement ni de ϕ ni de t . On a
L
–––––––
θ
  = {m l 2 } {.
ϕ
 
} 2 sin θ cos θ - m g l sin θ
,

L
–––––––––––––––
dot( θ)
  = {m l 2 }.
θ
 
et
L
–––––––––––––––
dot( ϕ)
  = m l 2 .
ϕ
 
sin 2 θ
, ce qui conduit aux deux équations de Lagrange :
..
θ
 
{.
ϕ
 
} 2 sin θ cos θ + g / l sin θ = 0
et
..
ϕ
 
sin 2 θ + 2.
θ
 
.
ϕ
 
sin θ cos θ = 0
.

On retrouve bien les équations (4) et (5).

Cas du Pendule conique

Une trajectoire possible est celle d'un parallèle : on parle alors de Pendule conique, dont la théorie a été faite par Huygens. En écrivant dans l'équation (4) que l'angle θ , appelé angle de nutation, est constant, on obtient la vitesse de rotation autour de l'axe, appelée vitesse de précession :
.
ϕ
 
=  ω 0
––––––––––––
( cos θ)
, qui est donc constante. On constate que θ ne peut dépasser 90° ; la période du mouvement est
T = T 0
 
–––––––
cos θ
 
.

Au voisinage de ce mouvement, il existe des mouvements avec une petite nutation.

Cas général

Il est intégrable à une quadrature près, puisque la surface a pour axe de révolution la verticale.

L'équation (5) s'intègre en (6)

.
ϕ
 
sin 2 θ = cte = 4 ω
; la vitesse de rotation autour de l'axe est donc minimale à l'équateur et augmente en se rapprochant des pôles.

L'équation (4) s'intègre alors en (7)

.
θ 2
 
- 2 ω 0 2 cos θ + 16 ω 2
––––––––
sin 2 θ
  = cte = (2k ω 0 ) 2
; ω = 0 redonnant bien le cas du pendule plan.

En posant

u = sin θ
––
2
, (7) devient :
(8)
{.
u
 
} 2 = ω 0 2 (k 2 -u 2 )(1-u 2 )+ ω 2
–––
u 2
.

Voir des vues de différentes trajectoires sur le site : courbe du pendule sphérique.

Généralisations

  • Dans le cas précedent, on a implicitement supposé que le référentiel était galiléen ; dans le cas général, il faut rajouter la force d'inertie d'entraînement, et la force d'inertie complémentaire, ou Force de Coriolis ; le cas du Pendule de Foucault est celui des petites oscillations d'un tel pendule, avec une rotation d'axe vertical, et une force d'inertie d'entraînement négligeable..
  • Si le pendule possède une inertie de rotation, et est en rotation sur lui-même, on obtient la toupie, ou le Gyroscope.
  • Comme pour le pendule plan, on peut considérer un Pendule double, voire multiple.

Source

Paul Appell : traité de mécanique rationnelle, page 530 à 541

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